aperturaApertura (Guadalajara, Jal.)Apert. (Guadalaj.,
Jal.)1665-61802007-1094Universidad de Guadalajara, Sistema de Universidad
Virtual10.32870/Ap.v13n2.208500002Artículos de investigaciónUna orquestación instrumental para un curso en línea a nivel
universitarioAn instrumental orchestration for online course at the university
level0000-0001-9005-0658Orozco-SantiagoJosé*0000-0002-7529-4520Cuevas-VallejoCarlos Armando** Doctor en Ciencias con especialidad en
Matemática Educativa por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del
Instituto Politécnico Nacional (IPN), México. Profesor investigador del
IPN.Instituto Politécnico NacionalInstituto Politécnico Nacional
(IPN)Mexico Doctor en Ciencias con especialidad en
Matemática Educativa por el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del
IPN, México. Investigador del Departamento de Matemática Educativa del
Cinvestav, IPN.Instituto Politécnico NacionalDepartamento de Matemática
EducativaCinvestavInstituto Politécnico NacionalMexico131220211020211322237310320212008202130092021Este es un artículo publicado en acceso abierto bajo una licencia
Creative CommonsRESUMEN
En este artículo se presenta una propuesta de orquestación instrumental, la cual
organiza el uso de los entornos tecnológicos en la enseñanza de la matemática en
línea (modalidad sincrónica) para los conceptos de valor y vector propio de un
primer curso de álgebra lineal con estudiantes de ingeniería. Se utilizó el
enfoque de la orquestación instrumental como marco teórico para planificar y
organizar los artefactos que intervienen en el entorno (configuración didáctica)
y las formas en las que se implementan (modo de explotación). Las actividades se
diseñaron mediante escenarios didácticos virtuales interactivos, en un entorno
de geometría dinámica, hojas de exploración guiadas y videograbaciones del
trabajo de manera individual o por pares de los estudiantes. Se presentan los
resultados obtenidos y se discuten las orquestaciones de una secuencia de
instrucción para introducir los conceptos de valor y vector propio. El trabajo
permitió identificar nuevas orquestaciones instrumentales para la enseñanza de
la matemática en línea.
Abstract
In this article, we present a proposal for instrumental orchestration
that organizes the use of technological environments in online mathematics
education, in the synchronous mode for the concepts of eigenvalue and
eigenvector of a first linear algebra course with engineering students. We
used the instrumental orchestration approach as a theoretical framework to
plan and organize the artefacts involved in the environment (didactic
configuration) and the ways in which they are implemented (exploitation
modes). The activities were designed using interactive virtual didactic
scenarios, in a dynamic geometry environment, guided exploration worksheets
with video and audio recordings of the work of the students, individually or
in pairs. The results obtained are presented and the orchestrations of a
pedagogical sequence to introduce the concepts of eigenvalue and eigenvector
are briefly discussed. This work allowed us to identify new instrumental
orchestrations for online mathematics education.
Palabras clave:Orquestación instrumentalentorno de geometría dinámicaálgebra linealeducación matemáticaenseñanza en líneaKeywords:Instrumental orchestrationdynamic geometry environmentlinear algebramathematics educationonline course
INTRODUCCIÓN
Durante marzo de 2020, la Organización Mundial de la Salud (OMS) declaró una pandemia
mundial debido a la covid-19, lo cual provocó que las instituciones educativas en el
mundo tuvieran que migrar del modelo de enseñanza presencial a una instrucción en
línea. La mayoría de las instituciones no estaban preparadas para este cambio, por
lo que los profesores tuvieron la necesidad de involucrarse en el uso y el manejo de
las tecnologías digitales; asimismo, los estudiantes debieron de adaptarse
rápidamente a esta nueva modalidad de enseñanza en línea. Esto trajo problemas
graves en la educación (Engelbrecht et
al., 2020). Este artículo ofrece una contribución en la
investigación de la enseñanza y el aprendizaje del álgebra lineal en un ambiente
virtual mediante la orquestación de diversos artefactos o dispositivos digitales, la
cual va dirigida a estudiantes universitarios. Desde hace años se ha trabajado en el
diseño y la construcción de un software educativo para apoyar la
enseñanza de las matemáticas (Cuevas-Vallejo &
Mejía, 2003; Orozco-Santiago,
2014; 2020). Debido a esto, fue
posible la adaptación a esta nueva enseñanza en corto tiempo, a partir de lo que se
presenta la experiencia lograda en un curso de álgebra lineal.
El álgebra lineal es uno de los primeros cursos de matemáticas abstractas que los
estudiantes encuentran en los años iniciales en la educación superior (Oktaç y Trigueros, 2010; Stewart, Andrews-Larson, Berman y Zandieh, 2018). El amplio uso
de las definiciones rigurosas y la demostración de teoremas y lemas hacen de esta
asignatura una de las más formales y abstractas del currículo de matemática en
ingeniería y, en consecuencia, una de las materias con el más alto índice de falla y
frustración de los estudiantes (Carlson et
al., 1993; Dorier, 2000; Orozco-Santiago, 2020).
Se han llevado a cabo investigaciones desde diferentes perspectivas teóricas para
estudiar los obstáculos que enfrentan los estudiantes en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de conceptos del álgebra lineal. Dentro de estas podemos
mencionar a Hillel (2000), quien consideró
tres niveles de lenguajes de descripción específicos (abstracta, algebraica y
geométrica) de los objetos y operaciones básicos; Sierpinska (2000), que señala tres modos de pensamiento:
sintético-geométrico, analítico-aritmético y analíticoestructural; Dorier y Sierpinska (2001), quienes distinguen
dos fuentes inseparables de las dificultades de los estudiantes en los procesos de
aprendizaje y conocimiento: la naturaleza del álgebra lineal (dificultades
conceptuales) y el tipo de pensamiento necesario para su comprensión (dificultades
cognitivas). Por otra parte, el grupo de estudio del currículo de álgebra lineal
(Carlson et al., 1993)
recomendó que se alentara a los profesores de matemáticas a utilizar la tecnología
en el primer curso de álgebra lineal: “Creemos que el uso de computadoras por parte
de los estudiantes para tareas y proyectos puede reforzar los conceptos de las
clases, contribuir al descubrimiento de nuevos conceptos y hacer factible la
solución de problemas aplicados realistas (p. 45)”. Para situar este trabajo se
presentan los antecedentes que informan de los materiales de instrucción para
introducir y promover la comprensión de los valores y vectores propios en los
estudiantes.
REVISIÓN DE LA LITERATURA
La era digital actual induce cambios drásticos en la manera como los profesores y los
estudiantes tienen acceso a la información y construyen conocimiento, en la forma en
que se comunican, interactuan y trabajan (Artigue,
2016). La National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) sostiene que “la tecnología es
esencial en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; influye en las
matemáticas que se enseñan y refuerza el aprendizaje de los estudiantes” (p. 24). En
los años ochenta se popularizó el uso de las calculadoras científicas, sin embargo,
estas no se diseñaron con fines educativos (su diseño se vio forzado en gran medida
por la tecnología disponible) y los objetivos iniciales de sus ventas fueron
comerciales y trabajos científicos (Monaghan,
Trouche y Borwein, 2016). Los sistemas de álgebra computacional (CAS, del
inglés: Computer Algebra System) por sus capacidades gráficas,
simbólicas y numéricas han sido más explotadas en cálculo diferencial e integral que
en álgebra lineal.
El álgebra lineal es una de las materias más abstractas y formales en la enseñanza
superior y, por lo tanto, resulta difícil cognitiva y conceptualmente (Dorier y Sierpinska, 2001). Además, cuenta con
pocos recursos para su enseñanza en línea. En Khan Academy, Coursera y MéxicoX
existen cursos de álgebra lineal, que por sus cualidades no consideran su parte
formal. Ambas situaciones dificultan su adaptación a una enseñanza en línea.
Uno de los temas obligados que contiene el currículo escolar en un primer curso de
álgebra lineal son los valores y vectores propios, tema que se enseña al final del
curso y donde se utilizan la mayoría de los conceptos previos. Debido a esto, la
enseñanza-aprendizaje de estos conceptos ha presentado problemas en su adquisición
por parte de los estudiantes. Algunos investigadores han intentado facilitar su
aprendizaje mediante el uso de tecnologías digitales. Klasa (2010) utilizó dos entornos computacionales, Maple V y
Cabri II, para estudiar los conceptos: transformación lineal, valores y vectores
propios, formas cuadráticas, cónicas con cambios de bases y valores singulares.
Klasa proporciona un applet en el entorno Maple a los estudiantes,
quienes ejecutan una animación de un vector unitario υ que gira
sobre un círculo unitario junto con su imagen T(v). La autora les
pide que observen en qué momento −si existe− v y
T(v) son colineales. Este mismo escenario desarrollado en
Cabri proporcionó a los estudiantes interacción al manipular el movimiento del
vector v. Posteriormente, con algunas herramientas de Cabri, se
midieron las normas de v y T(v) y, finalmente,
encontraron la relación ||T(v)||/||v|| que proporciona el valor
propio asociado. Klasa (2010) señala que
Cabri facilita la comprensión geométrica y Maple apoya al realizar las operaciones
matriciales y algebraicas-simbólicas computacionalmente.
Con estas experiencias, la investigadora afirma que la visualización y la
manipulación mejoran y facilitan el aprendizaje del álgebra lineal; además, agrega
que los estudiantes que trabajan en equipos alrededor de computadoras −o incluso
calculadoras gráficas− guiados por el docente, se convierten a menudo en expertos de
la disciplina que experimentan. En el mismo sentido, Gol Tabaghi (2014) estudió el cambio de las representaciones geométricas
dinámicas en el pensamiento de los estudiantes mediante el uso de diferentes
modalidades de arrastres en un entorno de geometría dinámica (The Geometer
Sketchpad).
Gol Tabaghi (2014) realiza un análisis con
tres estudiantes universitarios mediante entrevistas clínicas individuales basadas
en tareas sobre el tema, de valores y vectores propios, que los estudiantes habían
abordado previamente. Esta matemática diseñó varios bocetos para observar la
geometría de los valores y vectores propios reales de una matriz de 2×2, que al
arrastrar el vector x→ sobre la pantalla, el vector Ax→ se movía en consecuencia, lo que atrajo la atención de los estudiantes
para analizar con mayor detalle la relación entre x→ y Ax→ y, a la vez, realizar una coordinación entre la representación
geométrica en el boceto con la definición algebraica.
Apoyado en los tres modos de pensamiento de Sierpinska (2000), Gol Tabaghi
(2014) concluye que las representaciones geométricas dinámicas
permitieron a los estudiantes comprender los conceptos de vector y valor propio al
identificar sus propiedades geométricas invariables y desarrollar el pensamiento
dinámico sintético-geométrico; sin embargo, añadir la tecnología a un curso no
necesariamente puede provocar un cambio educativo positivo (Drijvers et al., 2016; Hegedus et al., 2017).
MARCO TEÓRICO
Inicialmente la integración de la tecnología consistía en entregarla a los
estudiantes o profesores y explicarles cómo utilizarla. Esta ingenua posición se
tenía en cursos de cálculo diferencial e integral que utilizaban el programa Derive,
o en cursos de estadística en donde se empleaba la hoja de cálculo. Incluso en los
años ochenta se pensaba que para enseñar geometría bastaba introducir o mostrar las
operaciones básicas de la tortuga en Logo. Al no obtener los resultados deseados,
fue necesario analizar de qué manera las diversas propuestas tecnológicas podrían
ayudar en la enseñanza-aprendizaje de la matemática (Pantoja, 1997; Guin y Trouche,
2002).
De esta forma surgen propuestas como el enfoque instrumental, que introduce una
distinción entre un artefacto disponible (computadora portátil, calculadora, tableta
o teléfono inteligente) para un aprendiz al realizar una actividad (proceso de
instrumentación) y la conversión a un instrumento durante el curso
de una actividad realizada por él (proceso de instrumentalización). Este enfoque se
ha integrado en la didáctica de las matemáticas (Rabardel, 1995; Artigue, 2002).
Trouche (2004) introduce el término
orquestación instrumental como una necesidad para que el
profesor organice las interacciones entre los estudiantes y los instrumentos con
intenciones didácticas particulares; presenta dos niveles: una configuración
didáctica (arreglo de estudiantes y los artefactos disponibles en el entorno) y los
modos de explotación de estas configuraciones.
La configuración estudiante-sherpa (un estudiante cuya computadora o calculadora se
proyecta en la clase) fue durante varios años una configuración didáctica
emblemática. Para una configuración determinada, existen diversas formas de
funcionamiento posibles. Drijvers et
al. (2010) consideran: “[En] la metáfora musical de la
orquestación, el escenario de la configuración didáctica se puede comparar con la
elección de instrumentos musicales que se incluirán en la orquesta y su disposición
en el espacio de manera que los diferentes sonidos produzcan la armonía más hermosa
(p. 3)”. Una orquestación instrumental está parcialmente preparada de antemano y
parcialmente creada “sobre el terreno” durante la enseñanza, por lo que Drijvers et al. (2010) agregan
a las configuraciones y modos de explotación un tercer nivel denominado
rendimiento didáctico, el cual
involucra las decisiones más adecuadas que se asumen mientras se enseña cómo
realizar efectivamente la configuración didáctica elegida y el modo de
explotación: ¿qué preguntas plantear?, ¿cómo hacer justicia (o dejar de lado) a
cualquier aportación particular del estudiante?, ¿cómo tratar un aspecto
inesperado en la tarea matemática o en la herramienta tecnológica u otros
objetivos emergentes? (p. 215, traducción propia).
En relación con la metáfora musical, Drijvers
et al. (2010) sugieren pensar en el modelo tripleta
como una banda de jazz, compuesta por músicos principiantes y avanzados
(estudiantes), así como el profesor, líder de la banda, quien preparó una
participación conjunta, pero está abierto a la improvisación e interpretación de los
estudiantes, además de hacer justicia a entradas a diferentes niveles. Esta
afirmación se volvió realidad en la presente experiencia debido a que no había
antecedentes sobre una enseñanza en línea en álgebra lineal, por lo que se tuvo que
“improvisar”1 formas y métodos
de enseñanza. Drijvers et al.
(2010) extendieron el repertorio de orquestaciones instrumentales, e
identificaron seis tipos para la enseñanza de clase completa:
Demostración-técnica. El profesor demuestra los aspectos técnicos para
utilizar la herramienta. Una configuración didáctica para esta
orquestación es un arreglo en el aula de manera que permita a los
estudiantes ver la pantalla proyectada y seguir la demostración.
Explica-la-pantalla. Las explicaciones del profesor superan los aspectos
técnicos e incluyen contenido matemático, guiado por lo que aparece en
la pantalla. Una configuración didáctica para esta orquestación es un
arreglo en el aula de tal manera que permita a los estudiantes ver la
pantalla proyectada y seguir la demostración.
Enlaza-pantalla-pizarrón. El profesor enfatiza a la clase las conexiones
entre las representaciones en la pantalla y las de estos conceptos
matemáticos en los libros o en la pizarra. Una configuración didáctica
para esta orquestación es un arreglo en el aula de forma que permita a
los estudiantes ver la pantalla proyectada, lo escrito en la pizarra y
seguir la demostración.
Discute-la-pantalla. La discusión sobre lo que sucede en la pantalla es
liderada por el profesor en busca de potenciar la génesis instrumental
colectiva. Una configuración didáctica para esta orquestación es un
arreglo en el aula de manera que: 1) permita al profesor acceder al
trabajo de los estudiantes y 2) los estudiantes puedan ver la pantalla
proyectada, lo escrito en la pizarra, seguir la demostración y favorecer
la discusión.
Indica-y-muestra. El profesor identifica y muestra los trabajos de los
estudiantes que él considera más relevantes. Una configuración didáctica
para esta orquestación es un arreglo en el aula de forma que: 1) permita
al profesor acceder al trabajo de los estudiantes durante la preparación
de la lección, y 2) los estudiantes puedan ver la proyección del
trabajo.
Estudiante-sherpa-en-el-trabajo. La herramienta tecnológica está en manos
de un estudiante-sherpa, quien tendrá el rol de realizar las
actividades. Una configuración didáctica para esta orquestación es un
arreglo en el aula de manera que: 1) permita al estudiante-sherpa
proyectar su trabajo o para llevar a cabo las acciones que el profesor
le solicite, y 2) los estudiantes puedan ver y seguir la proyección del
trabajo del estudiante-sherpa.
Estas orquestaciones no están aisladas, en las primeras tres el profesor dirige la
comunicación, mientras que en las últimas tres el profesor les da más espacio a los
estudiantes. En 2012, Drijvers et
al. agregaron una séptima orquestación:
circula-mientras-trabajan, donde los estudiantes trabajan en la computadora solos o
en parejas, mientras el profesor circula entre los escritorios monitoreando su
progreso y apoyándolos en puntos técnicos o matemáticos. En 2013, Drijvers et al. refinaron la séptima
orquestación e identificaron cuatro tipos adicionales, además de clasificarlas en
dos amplias categorías: orquestaciones de clase completa y orquestaciones
individuales o de parejas.
Guía-y-explica. Es una orquestación intermedia entre
explica-la-pantalla y discute-la-pantalla. Una
configuración didáctica para esta es un arreglo en el aula de manera que: 1) permita
al profesor acceder al trabajo de los estudiantes, 2) los estudiantes puedan ver la
pantalla proyectada, lo escrito en la pizarra y seguir la demostración, y 3) permita
al profesor realizar preguntas −a menudo cerradas− a los estudiantes.
Información-sobre-la-pizarra. Representa al profesor enseñando y escribiendo frente a
la pizarra sin soporte tecnológico.
Demostración-técnica, guía-y-explica, enlaza-pantalla-papel, discute-la-pantalla y
apoyo-técnico. Son orquestaciones en las que los estudiantes trabajan
individualmente o en parejas frente a su dispositivo tecnológico. Tienen en común la
configuración didáctica, aunque difieren en sus modos de explotación.
Demostrar-técnica. El profesor realiza la demostración de las técnicas de forma
individual evita exponer al estudiante a dificultades debido a su inexperiencia con
el entorno digital.
Guía-y-explica. El profesor interactúa con un estudiante o con una pareja para
explicar o informar aspectos matemáticos o tecnológicos, basado en lo que se muestra
en la pantalla.
Enlaza-la-pantalla-y-el-papel. El profesor vincula lo que se muestra en la pantalla
con lo que se muestra en libros y enlaza las matemáticas de forma convencional con
lápiz y papel.
Discute-la-pantalla. El profesor realiza la discusión con un alumno o con una pareja,
basado en lo que se muestra en la pantalla.
Apoyo-técnico. El profesor apoya al estudiante con problemas técnicos, como
dificultades de conexión, errores de software o de
hardware.
En la actualidad, en casi toda actividad didáctica participan diversos actores, como
los software, las calculadoras, las guías, los libros, el profesor,
el estudiante y el proyector. Es necesario establecer la organización y la
administración de los diversos artefactos o instrumentos que intervienen para
realizar una determinada actividad matemática, así como el rol del profesor, el cual
mantiene su importancia. De esta forma, se considera pertinente plantear la pregunta
de investigación: ¿qué orquestaciones instrumentales podría elegir un profesor
universitario cuando usa la tecnología en la enseñanza en línea de valor y vector
propio?
METODOLOGÍA
El experimento de enseñanza se llevó a cabo con un grupo conformado por 24
estudiantes de segundo año de ingeniería en una universidad pública mexicana. Debido
a la pandemia, solo diez estudiantes completaron el curso; fueron cinco sesiones con
duración de hora y media cada una; uno de los autores fue el profesor titular del
curso. Si bien los estudiantes tenían computadoras portátiles o dispositivos móviles
(teléfonos inteligentes y tabletas), las condiciones físicas necesarias para las
clases en línea no eran del todo satisfactorias. Se presentaron problemas como
conexiones a internet bastante débiles, ruidos tanto en el hogar como fuera de este,
estrés; una configuración de esto se presenta en la figura 1. La experiencia se desarrolló mediante videoconferencias
sincrónicas en la plataforma Zoom, en el mismo horario que en las clases
presenciales. La mayoría de los estudiantes optaron por no utilizar sus cámaras y
micrófonos durante las conferencias impartidas por el investigador, debido a que se
requería un mayor ancho de banda para hacerlo, y muchos no tenían este acceso.
Durante todo el curso existieron las siguientes formas de comunicación: a) correo
electrónico, b) mensajería instantánea (WhatsApp, propuesto por los estudiantes), c)
servicio de almacenamiento en la nube (Google Drive), y d) los archivos a utilizar
en cada sesión se subían a la nube minutos antes de la clase.
Participantes en la experiencia y la configuración de artefactos
utilizados.
Fuente: elaboración propia.
Recolección de datos
Durante todo el curso se recolectaron los datos de las siguientes formas: a)
mensajes por correo electrónico; b) mensajería instantánea por WhatsApp; c)
videograbación de las pantallas de los estudiantes, para lo que el profesor
propuso el software libre OBS Studio a fin de posteriormente depositarlas en el
servicio de almacenamiento en la nube (Google Drive); d) notas de los
estudiantes; e) videograbaciones de las actividades de clase que el investigador
realizó en el Zoom; y f) videograbación del trabajo en parejas de los
estudiantes la cual también se almacenaba en la carpeta de Google Drive. Para el
diseño de nuestra secuencia de tareas, se utilizó una trayectoria didáctica que
fue desarrollada para implementarse en forma presencial en el aula; sin embargo,
debido a la pandemia y al confinamiento, este esquema se adaptó para desarrollar
las actividades en línea. La trayectoria se conforma por siete actividades para
el estudiante, organizadas por las orquestaciones instrumentales de los
profesores.
RESULTADOS
Las orquestaciones instrumentales reportadas por Trouche (2004) y Drijvers et
al. (2010) y (2013) se
han desarrollado para clases presenciales en las que el profesor y los estudiantes
están ubicados en un aula, cara a cara. Por las circunstancias de pandemia, esta
experiencia de enseñanza se desarrolló en línea de forma sincrónica, lo que permite
utilizar algunas orquestaciones e improvisar otras.
En esta experiencia no se pueden aplicar varias de las orquestaciones sugeridas; por
ejemplo, circula-mientras-trabajan, debido a que el profesor no
podía observar el trabajo en tiempo real de cada uno de los estudiantes de esta
forma (caminar entre las computadoras) y ver qué estaban realizando. Para
sobrellevar esta situación hubo dos opciones: 1) solicitar al estudiante acceso
remoto a su computadora o 2) que el estudiante comparta su pantalla, lo que generó
que se desarrollara mayormente la orquestación
discute-la-pantalla.
En las figuras 2a y 2b se muestra una
configuración utilizada en la clase: en la figura
2a se muestra el PowerPoint abierto y la herramienta Anotación de Zoom, y
en la figura 2b el escenario didáctico virtual interactivo (EDVI) y la herramienta
Anotación de Zoom habilitada para escribir en la pantalla; como se puede observar,
es análogo a la pizarra usual de un aula.
a). PowerPoint abierto y herramienta Anotación de Zoom.
b). DGE (ambos como pizarra).
Fuente: elaboración propia
Una configuración didáctica para esta orquestación instrumental
demostración-técnica es compartir la pantalla de la
videoconferencia por parte del profesor, lo cual permite a los estudiantes seguir la
demostración, semejante a un aula. Como modo de explotación, el profesor muestra a
toda la clase cada nuevo comando y la funcionalidad del comando en el artefacto.
Para esta experiencia se ha modificado la orquestación instrumental
demostración-técnica a lo que se denomina
demostración-técnica-Online, que se refiere a la demostración
de técnicas para el uso de un artefacto por parte del profesor, apoyado por un
estudiante-sherpa. La configuración didáctica para esta orquestación es compartir la
pantalla de la videoconferencia sincrónica por parte del docente, y después la
intervención de un estudiante-sherpa (bajo el criterio de trabajar en una
computadora y tener una buena conexión a internet), que reafirme la explicación del
profesor. Como modo de explotación, el profesor y el estudiante-sherpa muestran a
toda la clase cada nuevo comando y la funcionalidad de estos en el artefacto. El
examen diagnóstico y la tarea construcción de un cuadrilátero son actividades para
lograr determinada instrumentación con el entorno. Se presentan los hallazgos de los
distintos tipos de orquestaciones instrumentales que se observaron en la
experiencia, la conexión que realizan los estudiantes con las propiedades
geométricas del vector u→ en R2 con su transformación lineal (matriz) y la relación matemática entre los
vectores Au→ y λu→ -valor y vector propio.
Relación de las columnas de la matriz con los vectores en el DGE
enR2
En esta actividad el profesor utilizó una orquestación
demostración-técnica para indicarles a los estudiantes que
al abrir el EDVI se presentaban tres vistas: algebraica (contorno rojo), gráfica
1 (contorno verde) y gráfica 2 (contorno azul) (ver figura 3). Se les indicó que esta actividad estaría centrada
en la vista gráfica 1 (contorno verde), y se les proporcionó 20 minutos para que
interactuaran con el EDVI y, a la vez, respondieran a la hoja de exploración
guiada. Los estudiantes trabajaron individualmente, realizaron la videograbación
de sus actividades y las agregaron a la nube en sus respectivas carpetas.
Visualización de las vistas algebraica, gráfica 1 y gráfica
2.
Fuente: elaboración propia.
Las orquestaciones instrumentales más utilizadas fueron:
apoyo-técnico y discute-la-pantalla como
una orquestación de toda la clase. Cabe señalar que la hoja de instrucción
guiada fue fundamental para lograr el objetivo y de alguna manera suple la
orquestación “caminar entre las computadoras”, al revisar el trabajo realizado.
Asimismo, se presentó el rendimiento didáctico Nicté-Ha: “Estaba grabando mi
actividad, pero se dejó de grabar solita, ¿la comienzo de nuevo o sigo grabando
donde me quedé?”. Como se pretendía observar el trabajo de los estudiantes, se
indicó que si la grabación se interrumpía procuraran retomar su trabajo en el
punto en el que fue interrumpida. Al finalizar la actividad se presentó otro
rendimiento didáctico: “Profesor, ya he finalizado, ¿puedo subir mi trabajo más
tarde? Es que en este momento mi internet está lento” (Randy). Lo relevante de
estos rendimientos didácticos es que solo se observan en la modalidad en
línea.
Los estudiantes reconocen que los valores del vector α1→ y del vector α2→ corresponden a los valores de la primera y segunda columna de la
matriz (ver figura 3). Después, el profesor
continuó con la siguiente actividad y preguntó a una estudiante:
Profesor: “¿Cómo son los vectores columna de la matriz A?, ¿son colineales o
no colineales?”.
Leonardo: “No son colineales porque en la representación gráfica lo vi.
También porque no existe 0 o 180 grados entre ellos”.
Profesor: “¿Los vectores columna de la matriz son dependientes o
independientes?”.
Arely: “Son dependientes” [respuesta incorrecta].
En este momento, el profesor cambia su orquestación a
enlaza-pantalla-pizarrón para conectar la interpretación
geométrica del determinante de la matriz A=0.80.30.20.7 con el área del polígono generada por los vectores α1→ y α2→ y mostrarles a los estudiantes la relación del determinante nulo y
la singularidad de la matriz A. En esta actividad los
estudiantes abordaron por primera vez el determinante de una matriz de 2 x 2 de
forma geométrica y reconocieron que el área generada por det(A) define el área del paralelogramo formado por los vectores α1→ y α2→ .
Reconocimiento de las relaciones del vectoru→y el vector Au→
El objetivo de esta actividad fue que los estudiantes descubrieran la
colinealidad de los vectores Au→ y u→ y que la razón de proporcionalidad entre ellos es λ=Au→u→, para después abordar la igualdad Au→=λu→. La vista gráfica 2 (contorno azul), de la figura 3, muestra dos vectores: un vector u→ arrastrable sobre esa vista gráfica y su vector transformado Au→. Cuando el vector u→ se arrastra, el vector Au→ se mueve según la matriz de transformación. La vista gráfica 2
también incluye una representación aritmética Au→=λu→, el valor de la norma del vector u→ y el valor de la norma del vector Au→, la medida del ángulo entre el vector u→ y el vector Au→ en grados, así como un texto con la leyenda “ Au→ y u→ son colineales”, que se muestra solo cuando estos vectores tienen un
error ±0.01º con los ángulos de 0º o 180º, para evitar que por problemas de
aproximación nunca se llegue a la solución deseada. También se agrega otra
representación aritmética Au→=λu→con una λ aproximada, que solo se ve cuando se visualiza el texto anterior. El
estudiante puede modificar los valores de la matriz A.
Esta actividad la realizaron en casa sin asesoría del profesor. Otro rendimiento
didáctico se presentó cuando un estudiante eliminó el permiso de acceso a la
carpeta de Google Drive a todos los usuarios, pero el profesor logró recuperar
el permiso para los estudiantes; debido a que todos los usuarios tienen el
permiso de edición, se puede presentar este tipo de problemas con el
almacenamiento de los archivos. Nuevamente, el profesor utilizó la orquestación
instrumental explica-la-pantalla a través del trabajo de uno de
los estudiantes como modo de explotación. El trabajo del estudiante seleccionado
fue en criterio del primer trabajo que se cargó en el Google Drive y, después de
haber presentado, el profesor utilizó la orquestación
discute-la-pantalla.
Profesor: “Dalia, ¿cómo obtuviste que el vector u→=(4,-4) y u→=(-4,4) son colineales al vector Au→?”.
Dalia: “Es que lo fui probando”.
Profesor: “¿Alguien observó que, dado un vector u→ colineal a Au→, el vector -u→ también era colineal a Au→?”.
Nicole: “Yo, profe”.
Profesor: “¿Cómo llegaste a esta idea?”.
Nicole: “Tal vez porque son colineales deben de estar en la misma línea. Por
eso llegué a esa conclusión en mi mente”.
A continuación, el profesor les pidió a los estudiantes que arrastraran el
vector u→ a las coordenadas (-2,2), que observaran las coordenadas del
vector Au→ y calcularan ||Au→||/||u→||. Posteriormente, que arrastraran el vector u→ a las coordenadas (-1,1), (2,-2) y (4,-4), que observaran las
coordenadas del vector Au→ y calcularan ||Au→||/||u→||.
Profesor: “¿Qué podrían inferir o generalizar con estos datos?”.
Arely: “Que todos esos puntos son colineales. Si los pusiéramos todos, serían
una recta. Por lo tanto, serían colineales”.
Profesor: [traza la recta x + y = 0] “¿Qué
podrías decir?”.
Arely: “Que, por ejemplo, los vectores que dio usted, que subrayó, si los
colocáramos en el plano cartesiano, igual nos quedarían sobre la misma
recta, por lo tanto, esos cuatro puntos (-2,2), (-1,1), (2,-2) y (4,-4) son
colineales”.
Profesor: “¿Qué podríamos generalizar?”.
Ulises: “El vector Au→=(-1,1) si lo multiplicamos por el escalar 2 nos da el vector u→”.
Leonardo: “Yo vi que eran dos rectas”.
Hasta este punto, los estudiantes no logran identificar cuáles son las ecuaciones
de las rectas, pero ya tienen la idea de que todos los vectores λu→ que están sobre ellas son colineales al vector Au→. El profesor les reafirmó que todos los vectores u→que están sobre la recta eran colineales con el vector Au→. Además, se pidió que calcularan Au→u→y comprobaran que siempre es “0.5” para una recta y “1” para la otra.
En este momento el docente comentó que estaban estudiando la ecuación matricial Ax→=λx→, y da la definición formal de valor y vector propios de una matriz .
Posteriormente, utilizó la orquestación
enlaza-pantalla-pizarrón para mostrarles nuevamente la
relación del área del polígono formado por las columnas de la matriz y el
determinante de la matriz de 2 x 2. También mostró la relación de las lambdas
con el determinante de la matriz A y su traza (ver figura 4).
Relación de las lambdas con la determinante y la traza de la
matriz A.
Fuente: elaboración propia.
Cálculo algebraico de los valores y vectores propios
Thomas y Stewart (2011) señalan que los
libros de texto muestran Ax→=λx→, luego insertan un pequeño paso a Ax→=λIx→, pero no explican qué es λIx→; es decir, que I es una matriz ∉R. Con la orquestación Board-instruction-screen el
profesor explica cómo la ecuación Ax→=λx→ se transforma en (A-λI)x→=0→ con la participación de los estudiantes (ver figura 5).
El paso de la ecuación Ax→=λx→, a la (A-λI)x→=0→.
Fuente: elaboración propia.
Profesor: “Recuerdan que A-λ no se puede operar, ¿qué hicimos en el tema de operaciones entre
matrices para que se pudiera operar?”.
Leonardo: “Se multiplicó por la matriz identidad”.
El profesor desarrolló la solución de (A-λI)x→=0→ con λ1=1 para obtener el espacio propio; después de esto
(-0.2x + 0.3y = 0), le pidió a un
estudiante que multiplicara la ecuación del espacio propio por diez, para que
observara que era una de las dos rectas que el alumno había comentado en la
clase anterior. Posteriormente, el profesor les pidió a los estudiantes que
ingresaran la ecuación de la recta “2x + 3y =
0” en GeoGebra y que colocaran el vector u→ sobre esta, para que corroboraran que cuando el vector u→ está sobre la recta, el vector u→ y el vector Au→ son colineales con el mismo valor propio λ1=1. Dado el espacio propio, el docente les mostró a los estudiantes la
obtención de un vector propio; mostró el cálculo de los valores y vectores
propios de forma analítica y corroboró con los estudiantes los valores y
vectores propios que obtuvieron de forma dinámica en el DGE.
Cálculo de valores y vectores propios de matrices de orden 2 y
3
El profesor indicó que resolvieran esta actividad a lápiz y papel, sin apoyo de
la tecnología y que videograbaran su solución. Para la primera matriz A=4233, la mayoría de los estudiantes (siete) no tuvo dificultad en
calcular correctamente el polinomio característico, los valores propios y
después los vectores propios; solo dos tuvieron problemas con su álgebra
operacional. Para la matriz A=32-10, la mayoría de los estudiantes (seis) no tuvo dificultad en calcular
correctamente el polinomio característico, los valores propios y después los
vectores propios. En este ejercicio tres estudiantes presentaron problemas en el
cálculo del espacio nulo de la matriz A-λI debido a errores algebraicos. Para la matriz
A=7-20-26-20-25
solo cuatro estudiantes realizaron correctamente el proceso para encontrar los
valores y vectores propios; sin embargo, tuvieron errores aritméticos y solo uno
la resolvió correctamente (ver figura 6).
Aunque las matrices de orden 3 x 3 no se abordaron durante las actividades, los
estudiantes que lo intentaron resolver mostraron ser capaces de aplicar lo
aprendido o lo realizado en R2 a vectores en R3.
a) Cálculo a mano del primer vector propio, b) cálculo del
segundo vector propio, y c) cálculo del tercer vector
propio.
Fuente: elaboración propia.
La posibilidad de experimentar dinámicamente y visualizar geométricamente el
efecto que produce una transformación lineal o matriz sobre un vector, ayudó a
entender mejor la relación Ax→=λx→. La exposición en línea promovió el trabajo grupal y originó un
trabajo colaborativo al formarse pequeños subgrupos de discusión y análisis,
dirigidos en la plataforma por el maestro; esto permitió a los alumnos resolver
por sí mismos gran parte de sus deficiencias. Al tener las respuestas de los
estudiantes a los ejercicios antes de la clase, el profesor trabajó en el
rediseño de su instrucción hacia algo más adecuado.
CONCLUSIONES
Actualmente, al hablar sobre temas relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de
las matemáticas, incuestionablemente se incluyen las herramientas tecnológicas.
Estas no pueden pensarse como artefactos que se utilizan libremente, pero su
implementación en el aula ha evidenciado que los estudiantes requieren de un proceso
de apropiación de estas herramientas. Esta es la gran aportación del enfoque
instrumental, apoyar a los profesores de matemáticas en sus esfuerzos por integrar
la tecnología en su práctica docente, aunque aún es un desafío para la comunidad de
educación matemática.
La pregunta de investigación: ¿qué orquestaciones instrumentales podría elegir un
profesor universitario cuando usa la tecnología en la enseñanza en línea de valor y
vector propio? enmarcó el presente estudio. Se examinó la práctica docente de un
profesor universitario con estudiantes de ingeniería durante el inicio de la
pandemia provocada por la covid-19 mediante una enseñanza en línea a través del
marco teórico de la orquestación instrumental. En 2004 se presentó
a la comunidad de matemática educativa la metáfora orquestación instrumental para
reflexionar sobre la integración de los artefactos en sus enseñanzas y organización;
sin embargo, a medida que la tecnología cambia, los tipos de orquestaciones
instrumentales -previamente identificados- deben ser reexaminados con la posibilidad
de ser modificados o ampliados.
Esta investigación propone a la comunidad la posibilidad de ampliar las
orquestaciones instrumentales previamente definidas con
demostración-técnica-Online, para una enseñanza en línea; es
decir, mediante el uso de un software dinámico, la creación de EDVI y las hojas de
exploración guiadas se proporcionan evidencias para realizar situaciones de
enseñanza-aprendizaje conceptos matemáticos, como valores y
vectores propios, que pueden ser utilizadas en el tiempo estimado por el programa de
estudio y reproducible en cualquier situación semejante.
Las orquestaciones presentadas en este artículo se originaron debido a que los
estudiantes subían las videograbaciones de sus trabajos y el profesor tenía
oportunidad de acceder y realizar orquestaciones a partir de estos trabajos. Este
estudio abona a un camino largo por recorrer. Esta aportación, hasta hoy, no es
concluyente, pues faltaría mayor experimentación; sin embargo, resulta alentadora
para continuar estrategias de este tipo en la enseñanza, la cual podrá ser cubierta
con nuevas contribuciones del medio de la investigación y docencia. Esta propuesta
no pretende competir con la enseñanza presencial ni sustituirla, pero sí aportar
elementos a una enseñanza en línea, ya demandada antes de la pandemia actual.
Consideraciones futuras
Las circunstancias adversas de una pandemia mundial, y de la crisis económica, social
y emocional, afectó al alumnado; durante las sesiones del curso algunos estudiantes
contrajeron la covid-19 y otros sufrieron el deceso de familiares. A pesar de ello,
el trabajo se llevó a cabo con éxito, por lo que consideramos que nuestras
actividades en situaciones normales tendrán el logro deseado. Creemos que nuestro
trabajo aporta una nueva forma de orquestación y explotación que nuestros colegas
profesores podrán utilizar, ampliar o modificar y aplicar a otros conceptos
matemáticos.
AGRADECIMIENTOS
José Orozco-Santiago agradece al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología por apoyar
sus estudios de doctorado, durante los cuales se llevó a cabo esta
investigación.
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con los recursos de su enseñanza-una historia de
trayectorias30394010.24844/EM3003.01
Es una improvisación que conlleva la amplia experiencia del profesor.
CÓMO CITAR ESTE ARTÍCULO: Orozco Santiago, José y Cuevas-Vallejo,
Carlos Armando. (2021). Una orquestación instrumental para un curso en línea a
nivel universitario. Apertura, 13(2), pp. 22-37. http://dx.doi.org/10.32870/Ap.v13n2.2085
Apertura vol. 16, núm. 1, abril - septiembre 2024, es una revista científica especializada en innovación educativa en ambientes virtuales que se publica de manera semestral por la Universidad de Guadalajara, a través de la Coordinación de Recursos Informativos del Sistema de Universidad Virtual. Oficinas en Av. La Paz 2453, colonia Arcos Sur, CP 44140, Guadalajara, Jalisco, México. Tel.: 3268-8888, ext. 18775, www.udgvirtual.udg.mx/apertura, apertura@udgvirtual.udg.mx. Editor responsable: Alicia Zúñiga Llamas. Número de la Reserva de Derechos al Uso Exclusivo del Título de la versión electrónica: 04-2009-080712102200-203, e-ISSN: 2007-1094; número de la Reserva de Derechos al Uso Exclusivo del Título de la versión impresa: 04-2009-121512273300-102, ISSN: 1665-6180, otorgados por el Instituto Nacional del Derecho de Autor. Número de Licitud de Título: 13449 y número de Licitud de contenido: 11022 de la versión impresa, ambos otorgados por la Comisión Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas de la Secretaría de Gobernación. Responsable de la última actualización de este número: Sergio Alberto Mendoza Hernández. Fecha de última actualización: 22 de marzo de 2024.
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